Efecto Mariposa

“El aleteo de las alas de una mariposa se puede sentir al otro lado del mundo”

Saludos a todos.

Hoy toca hablar de una de esas cosas que ha oído todo el mundo, pero que poca gente sabe exátamente lo que es, lo que significa y por qué esa metáfora. Estoy hablando, como habréis deducido por el título de la entrada del “efecto mariposa”. Pero no de ese efecto del que se habla en las películas, ni del que se escucha habitualmente, sino del efecto mariposa de verdad.

¿Por qué se habla de él? ¿Es cierto? ¿En qué medida? ¿Qué es exactamente? Intentaré responder a todas esas preguntas, aunque el explicar qué es exáctamente no es fácil, ya que requiere conocimientos relativamente avanzados de ecuaciones diferenciales. Aún así intentaré dar una visión general,sencilla y simplificada del asunto.

Comencemos con ello:

Voy a empezar hablando de Edwar Lorenz, un matemático del siglo pasado. Tiene como relativa importancia no confundirlo con el físico y matemático Lorentz (el de la transformada).Pues el señor Lorenz a parte de matemático también era meteorólogo. Y un día se le ocurrió plantear un modelo  del comportamiento del clima a largo plazo.¿Qué pasó? Pués lo previsible. Enseguida se dió cuenta de que este modelo que quería plantear, no sería en absoluto fácil en niguno de sus aspectos. Ni de plantear, ni de resolver. Pues despues de mucho enredar con el asundo, y de eliminar muchos términos supérfluos se quedó con el siguiente sistema:

Dónde σ es la viscosidad/conductividad térmica(depende del caso que queramos modelar). r es la diferencia de temperatura entre base y tope. b es la razón entre la longitud y la altura del sistema. A primera vista surge un problema evidente: Es un sistema no-lineal. ¿Qué problemas tienen estos sistemas? Pues el más importante es que muchos de estos sistemas son analíticamente irresolubles. Si se puede aproximar mediante métodos numéricos, pero no es ni parecido.

Lo que hizo Lorenz allá por los años 60, fué introducir el sistema en aquellos ordenadores “prehistóricos”, esperar aproximadamente 4 o 5 semanas a que el trasto acabara de trabajar, y pintar la solución a mano. ¿Qué descubrió? Bueno, pues vió que su retrato de fases (comportamiento general del sistema en el plano) era algo extraño y novedoso.

En esta foto se puede observar el retrato de fases para unos parámetros de σ=10 r=28 y b=2,666… que fueron los que usó Lorenz para introducirlos en el ordenador. ¿Qué se observa? Se observa que hay tres puntos críticos. Dos de ellos, hacen que las trayectorias giren (atractores) y otro las expulsa (foco repulsor).

Y aquí volvemos de nuevo con las condiciones iniciales: Con que nos desviemos una cantidad infima de el verdadero parámetro inicial. Al cabo del tiempo, no sabremos dónde estamos. Ya que la desigualdad fundamental, y los términos no lineales se encargan de separar las soluciones.

Éte aquí, que por fin llegamos al verdadero tema de la entrada. ¿El aleteo de una mariposa cambia las condiciones iniciales infimamente? Pues si. Eso no quiere decir, como dicen en las películas, que al otro lado del mundo vaya a haber un huracan. Lo que quiere decir, es que nunca podremos obtener unas condiciones iniciales exactas para introducir. Y que ese pequeño cambio que produce la mariposa (o cualquiera de de ustedes si se tiran un pedo) produce unos cambios tremendo en el clima a no tan largo plazo.

Esta es una de los primeros sistemas de ecuaciones diferenciales ligados a la Teoría del Caos. Esta teoría matemática, no viene a decir más que: “la más mínima variación en las condiciones iniciales de un sistema, impide prever la evolución de dicho sistema.”

En esta página podreís ver como evoluciona el retrato de una trayectoria del atractor de lorenz a lo largo del tiempo. Y podreís contrastar el por que si cambiamos minimamente el vector de inicio, las trayectorias no tienen nada que ver.

Sólo quiero añadir, que la mayoría de procesos de este mundo se rigen por sistemas no lineales, en los que en gran medida pasa lo mismo que en el “atractor de Lorenz”. Una pequeña variación de las condiciones iniciales, y perdemos de vista totalmente la evolución del sistema.La previsión de futuro, se nos rompe de nuevo por otro lugar. Ya no sólo la desigualdad fundamental. Sino que la propia Teoría del Caos se nos pone en contra. ¿No es irónico que muera el determinismo científico casi a la par que obtenemos la tecnología necesaria para resolver los sistemas que antes de la aparición de los ordenadores eran irresolubles? Justo cuando podemos utilizar nuestra tecnología para predecir el futuro, nos damos cuenta de que no podemos hacerlo.

Un saludo

~ por Beleragor en 25 Enero 2009.