¿Aprobaré?

«Estudia el pasado si quieres pronosticar el futuro.»

Saludos:

Ahora que hemos acabado los exámenes de Febrero, voy a escribir sobre algo curioso:  «Probabilidades y exámenes tipo test.»

Voy a resolver un problema de probabilidad e intentar deducir el número óptimo de respuestas para obtener la máxima puntuación posible en el examen.

¿Podrá ayudarnos el azar a aprobar es dichosa asignatura en la que llevamos 5 convocatórias?¿Podrá evitar que nos echen de la universidad?

Bueno, pues poca introducción más puedo poner, el tema no da más de sí, aunque el desarrollo posterior será mas largo. Comenzaré proponiendo el problema, y posteriormente ayudado de la Teoría de Probabilidades, desarrollaré la solución, intentando dar al final de la entrada, estratégias óptimas de resolución de exámenes tipo test.

Comencemos. Nuestro problema es el siguiente:

Tenemos 10 preguntas en un exámen tipo test. Cada pregunta posee 3 respuestas y la elección de respuesta es única. Para cada pregunta, el examinado recibirá -0.5 puntos por un fallo , 0 puntos por no contestar y 1 punto por acierto. Además para superar el examen deberá obtener una nota igual o superior a un 5.

Hay que hacer notar que existen 3 tipos de preguntas posibles.

1. En las que conozco la respuesta.
2. En las que puedo encontrar una de las tres falsa y quedarme con la duda entre las otras 2.
3. No conozco la respuesta.

Pues a partir de aquí empezamos con el modelado de la solución del problema. Supongamos que en nuestro examen tenemos x preguntas del tipo 1, y preguntas del tipo 2 y z preguntas del tipo 3.

Empecemos calculando la puntuación esperada en el examen. Las preguntas de tipo 1 nos proporcionan 1 punto con probabilidad 1. Las preguntas de tipo 2, nos proporcinan un punto con probabilidad 1/2, y nos restarán 0.5 con probabilidad 1/2. Las preguntas de tipo 3, nos proporcionarán un punto con probabilidad 1/3 y nos restarán 0.5 con probabilidad 2/3.

Ademas habitualmente no queremos contestar a todas las preguntas del examen. Asi que supongamos que contestamos a todas las del tipo 1, a s preguntas del tipo 2 y a t preguntas del tipo 3 de entre las x,y,z preguntas iniciales. Bajo estas hipótesis la nota esperada en el examen es:

PUNTUACIÓN ESPERADA = x + 0.25 s

Bueno pues ya tenemos la puntuación esperada del exámen. Vallamos por las estratégias óptimas. Voy a separar 2 casos bien distintos:

Caso 1: Si el número de preguntas de tipo 1 es mayor o igual a 5. El exámen estará aprobado(en un principio), vamos pues a por la nota más alta posible.

De la fórmula anterior se deduce que la nota esperada aumenta con el número de preguntas de tipo 2 que contestamos. Así pues, deberemos responder el número máximo de preguntas de  tipo 2, siempre y cuando el fallarlas no nos lleve a suspender el examen. Por ejemplo:

Si x=5, es evidente que no responderemos ninguna pregunta más, yo por lo menos no me la juego a suspender.

Si x=6, dependerá del valor de s y t . Se deberán responder hasta un máximo de 2 preguntas de tipo s , siendo ese máximo el óptimo.

Y así se va construyendo una tabla, que indicará el número de preguntas de tipo 2 y 3 que habremos de responder en cada caso.

Caso 2: Si el número de preguntas de tipo 1 es menor que 5. El exámen estará suspenso (en un principio), vamos a intentar aprobarlo. El problema, en este caso cambia drásticamente y se convierte en el siguiente :

Dado un examen que tiene x, y & z preguntas de tipo 1,2 y 3, respectivamente, pretendemos determinar los números s y t de preguntas de tipo II y III, respectivamente, que hay que responder para maximizar la probabilidad de superar el examen.

Los cáculos en esta sección se complican considerablemente, así que evito todo ese rollo ( si alguien está interesado que me lo pida) y voy a dar directamente la estrategia óptima:

A grandes rasgos, lo que se hace es crear una tabla de probabilidades con el Matlab( por ejemplo) y a partir de ahi, seguir una estrategia de maximización de probabilidades.

El procedimiento es diferente y con diferentes resultados para cada terna de números x, y & z .Así pues, daré la estratégia óptima en un caso( no es plan de aburriros con mil y una tablas de probabilidades en el blog).

Supongamosque tenemos un examen en que que x = 0, y = 9 y z = 1 .Una vez hechos los cálculos, las tablas , etc. La solución óptima que obtenemos es : s = 9, t = 0 que a parte de máximizar la probabilidad ( no os creais que es mucho, no pasa del 0.2) posee una nota esperada 9/4.

Para cualquier otro par de valores escogido, empeora uno de los dos términos, o la probabilidad de aprobar, o la nota media esperada.

Así, como veís siempre es mejor tener más de 5 preguntas de tipo 1 en el examen, y para eso, sólo hay una solución, que no daré en este blog por sonar demasiado empollona.

Un saludo