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Trascender. O de por que PI no es cuatro…


“Ni la relación aurea es tan perfecta como una esfera.”

Saludos:

pi Hoy toca hablar sobre nuestro odiado amigo,el número PI. No voy a hablar de curiosidades típicas de dicho número, como que la probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6/Pi2 , o que ha habido diversas culturas a lo largo de la historia, que han tenido a este número como divino, hoy no.

Hoy voy a hablar de por qué PI no es cuatro, cómo hace muchos años afirmó un proyecto de Ley presentado en el estado de Indiana (EE.UU.) ante la cámara de representantes del estado, dónde se intentó ampliar el valor de PI a 4. Esto fué debido, a diversas alusiones Biblicas, en las que se daba a entender que PI era mayor que 3….

Hay muchos métodos para probar que PI es un número trascendente . Dicho tipo de números, se encuentran entre los irracionales, por lo que el conjunto de todos los números trascendentales es no numerable; esto no quiere decir más que la cantidad de números trascendentes es la misma que de números reales (parece una contradicción.¿Verdad?).

Vamos a empezar viendo que PI, es un número que esta comprendido en [3,4]. La demostración de que Pi es irracional es algo más compleja, y tiene que ver con esta integral:

latexphp

Siendo f(x) una función bastante peculiar que no nos atañe en estos momentos.

Para ver que Pi está comprendido entre 3 y 4, voy a utilizar un método que ya utilizó Arquímedes de Siracusa, hace ya 2300 años para acotar PI.


arquimedes_numero_pi1Arquímedes supuso que la longitud de la circunferencia estaba relacionada con su diametro, llamemoslo ‘d’. De manera que L=k*d. Evidentemente lo que intentó acotar fué la constante k, que resultaría ser PI.

Arquímedes demsotró que el lado del hexagono inscrito en una circunferencia es igual al radio de dicha circunferencia. Con lo que la longitud de la circunferencia es estrictamente mayor que la longitud del hexagono, que es 3 veces la del diametro de la circunferencia.

Además vió, sin ningún tipo de problemas que  el lado del cuadrado circunscrito a un círculo es igual al diámetro de dicho círculo.Luego como un cuadrado tiene 4 lados, la longitud de la circunferencia es estrictamente menor que 4 veces la longitud del diamtro.

Y éte aquí, que ya tenemos la primera acotación:

3*d < k*d < 4*d

Fijate, que casualidad, que Pi pertenece al intervalo abierto (3,4). Esta gente de Indiana, en el año 1895, era bastante más incluta que Arquemedes en el 235 a.C.

Despues de esto, lo que se hace es duplicar el número de lados de los dos polígonos. Tanto el inscrito, como el circunscrito. De este modo, la longitud de ambos polígonos, se aproxima a la de la circunferencia, quedando esta entre medias.

Basta con hacer un número de pasos lo suficientemente grande para tener una acotación de la longitud de la circunferencia con un error mínimo. Bastará entonces dividir todos los miembros de la desigualdad por d, y encontraremos el valor de PI, con tantos decimales como queramos, o nos permita el tiempo,que éste para un ser humano, si que es finito….


Un saludo


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19 enero, 2009 - Posted by | Ciencia&Curiosidades, Matemáticas

11 comentarios »

  1. Agg!! Me has hecho recordar mi práctica de la medida de PI!! Os aseguro que hacer polígonos inscritos y circunscrito es un aburrimiento, aunque lo cierto es que sale un valor de PI bastante aproximado su valor teórico real.

    Comentario por docuciencia | 19 enero, 2009

  2. El comentario anterior es mío, que estaba con la otra cuenta de WordPress 😛

    Comentario por Wis_Alien | 19 enero, 2009

  3. ¡A mí también me recuerda a aquella práctica!
    Era increíble la convergencia a pi de las series de Ramanujan.

    Hay en Wikipedia una “demostración” de broma para ver que pi es dos.

    Comentario por Stonet | 20 enero, 2009

  4. Como se ve que llevas bien los exámenes eeh. Conmigo noconteis para artículos hasta Marzo.
    Muy interesante lo de los polígonos.

    Comentario por xar | 20 enero, 2009

  5. […] Trascender. O de por que PI no es cuatro…ciencimat.wordpress.com/2009/01/19/trascender-o-de-por-que-p… por yoma-58 hace pocos segundos […]

    Pingback por Trascender. O de por que PI no es cuatro… | 25 enero, 2009

  6. Según el programa de hoy de Milenio 3 para la numerología pi no sólo es racional, sino que vale 22/7.
    Pero ese 22 es “especial”, porque resulta de dividir 360/16 (22,5).

    Comentario por Stonet | 17 octubre, 2010

  7. Coño, eso es más que interesante. ¿No tendrás un link por ahí dónde pueda escucharlo?

    Comentario por Beleragor | 19 octubre, 2010

  8. En la propia web del programa:
    http://www.cadenaser.com/milenio3/
    Lo dijeron sobre las 2:45 así que debería estar en las grabaciones de la segunda hora.

    Comentario por stonet | 19 octubre, 2010

  9. “Dicho tipo de números, se encuentran entre los irracionales, por lo que el conjunto de todos los números trascendentales es no numerable.”
    Esa frase está mal, los trascendentales son un subconjunto de los irracionales, eso no alcanza para ver que éstos sean no numerables. Que los trascendentales sean no numerables si alcanzaría para ver que los irracionales son no numerables.

    Comentario por andres | 14 noviembre, 2012

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