…¿Dónde hay Matemáticas?…

El Blog de Ciencia Vista Desde el Ámbito Matemático

Dos ovejas, un coche y el ingenio de un matemático.


Lo que llamamos casualidad no es ni puede ser sino la causa ignorada de un efecto desconocido.

Saludos a todos:

ima_oveja

Suponganse que un día son llamados para acudir a un concurso de televisión. En dicho concurso, como en cualquier otro, pueden pasar dos cosas: La primera y más normal, es no llevarse ningún premio, y únicamente quedarse con la experiencia televisiva. La segunda, mucho más rara, es regresar a casa ligeramente más ricos.

Suponganse que el premio del concurso es un coche (a su elección dejo el modelo y la marca). Además suponganse que es ese tipo de concurso en lo que lo único que importa es el azar. Sabiendo el funcionamiento del concurso ¿No intentarían maximizar las posibilidades de ganar el coche?

En esta entrada, voy a proponer un modelo de concurso que todos conocerán, e intentaré optimizar el modo de volver a casa en un coche nuevo. Abordaré el problema de dos maneras, una rigurosa y otra muy sencilla, de este modo todos quedaremos contentos.

Vamos a ello:

Este problema es conocido con el nombre de Monty-Hall, nombre del presentador del programa televisivo que dio origen a todas las discusiones que veremos en esta entrada. Pero aun no sabemos nada acerca del concurso en el que estamos:

  • Ud. llega al plató televisivo. Se encuentra con un presentador y tres puertas cerradas.
  • El presentador le informa que detras de dos de las tres puertas se encontrará con una oveja. Detrás de la restante con el coche.
  • Deberá escoger una de las tres puertas, sin ninguna pista y al azar.
  • Una vez escogida la puerta, el presentador abrirá otra puerta con una oveja, y le preguntará si desea cambiar por la restante.
  • Despues de su decisión, se abrirá la puerta elegida y se llevará la oveja o el coche.

La pregunta evidente es: ¿Merece la pena cambiar?¿Merece la pena quedarnos con nuestra elección inicial? Más aun,¿Deberemos hacer lo mismo siempre,o por el contrario, dependerá de la situación?
Y aquí, antes de sigan leyendo, he de hacerles una pregunta:

¿Qué harían ustedes?

Lo normal es pensar: En la primera elección tengo 1/3 de posibilidades de llevarme el coche. Cuando me destapan un puerta, me es indiferente, ya que puede estar en mi puerta o en la otra, y como sólo hay dos puertas, hay 1/2 de posibilidades de que este en la mía, pero también hay 1/2 de posibilidades de que esté en la otra. Luego como hay las mismas posibilidades es indiferente cambiar.

monty

Vamos a resolver el problema de la forma simple:

monty_hall_solution_expanded1Al escoger inicialmente una puerta al azar. ¿Qué posibilidades tenemos? Pues son dos: La primera es que detrás de nuestra puerta haya(aunque nosotros lo desconozcamos) un coche. La segunda es que haya una oveja. La primera opción, pasa 1/3 de las veces, mientras que la segunda pasa 2/3 (no creo que se necesite más explicación, hay tres puertas, dos ovejas y un coche).

  • Supongamos que escogemos la puerta que tiene el coche (aunque en la realidad no lo sabríamos).El presentador abre otra puerta con una oveja. Si cambiamos perdemos el coche. Si nos quedamos con nuestra elección inicial ganamos.
  • Supongamos que escogemos una puerta que tiene detrás una oveja (aunque en la realidad no lo sabríamos).El presentador abre la otra puerta que tiene una oveja. Si cambiamos ganamos el coche. Si nos quedamos con nuestra elección inicial perdemos.

Y aquí radica el meollo de la cuestión: El primer punto sucede una de cada 3 veces, mientras que el segundo punto sucede dos de cada tres. Debido a que hay dos ovejas ,un coche y se escoge al azar. De este modo si cambiamos, ganaremos 2 de cada 3 veces.

Pero este modo de resolución fijo que no convence a muchos, asique resolveré el problema de forma rigurosa (los que no tengan conocimientos mínimos de probabilidad que pasen al final del post):mainimage2

  • Sea X la variable aleatoria: “Puerta que escoge el concursante”
  • Sea Y la variable aleatoria: “Puerta detrás de la que está el coche”
  • Ambas variables son independientes.
  • Sea Z la variable aleatoria:”Contendio que hay detrás de la puerta que el presentador escoge”

La variable Z sólo puede tomar dos valores: Oveja ó Coche. Pero el presentador siempre escoge la puerta en la que hay una oveja (esto siempre es posible, pues aunque el concursante obtuviera una oveja, queda otra puerta detrás de la cual hay una oveja). Esto implica que P(Z=oveja)=1 y P(Z=coche)=0.

  • La probabilidad de que el concursante se lleve el coche si no cambia de puerta es : P(X=Y/M=oveja) y utilizando la fórmula de la probabilidad condicionada obenemos que : P(X=Y/M=cabra)=P(X=Y)=1/3.
  • La probabilidad de que el concursante se lleve el coche cambiando de puerta es:  P(X<>Y/M=oveja)= 1-P(X=Y/M=cabra)=2/3.

Como se puede apreciar, obtenemos el mismo resultado que en el apartado anterior (malo sería si no fuera así). De este modo, y ahora si que sí, puedo ratificar que es el “doble” de mejor cambiar la puerta en todas las ocasiones. Depués evidentemente, puedes perder. Pero has maximizado las probabilidades de éxito, y te aseguras una esperanza ganadora de 2/3.

Sólo me queda añadir, que no siempre hay que fiarse de la intuición( y este caso lo demuestra). Muchas veces, tenemos un problema delante, que si nos paramos a pensar en él fríamente conseguimos optimizar las probabilidades de éxito, y aunque, al final perdamos, habremos escogido la mejor opción. Otro día seguiré con algo más de Teoría de Juegos.

Un saludo

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30 enero, 2009 - Posted by | Matemáticas

10 comentarios »

  1. Interesantísimo artículo. Yo he de admitir que no hubiera pensado en cambiar. De todas formas, me cuesta entender cómo es posible que varíe tanto la probabilidad, hasta el extremo de doblarse.

    Ya que sigo creyendo( aunque no tengo ni idea de probabilidad) que en la segunda elección las dos puertas tienen la misma probabilidad de contener el coche.Pensaré en ello.

    Un saludo

    Comentario por Juan | 30 enero, 2009

  2. […] Dos ovejas, un coche y el ingenio de un matemáticociencimat.wordpress.com/2009/01/30/dos-ovejas-un-coche-y-el-… por Jonarano hace pocos segundos […]

    Pingback por Dos ovejas, un coche y el ingenio de un matemático | 30 enero, 2009

  3. Es genial la probabilidad. Lástima que apenas la toquemos en física…

    Comentario por Wis_Alien | 30 enero, 2009

  4. 🙂 Me lió un poco empezar con ovejas y terminar con cabras, casi acabo como un ídem :-))

    Comentario por Son | 30 enero, 2009

  5. Pero el análisis es perfecto, enhorabuena 🙂

    Comentario por Son | 30 enero, 2009

  6. Jajajajaa. Son no me habia dado cuenta de eso hasta que lo has dicho. Voy a ver si arreglo un poco el error, que de momento si que se distinguir entre ovejas y cabras.

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 30 enero, 2009

  7. @ Juan,

    Se dobla porque al cambiar de puerta estas eligiendo todas las puertas que no habías escogido. Lleva el caso al extremo, utiliza 100 puertas y elige una. Si te doy a elegir entre tu puerta o quedarte con las otras 99, con todas, seguro que te quedas con las 99. Que antes del cambio te abran 98 puertas no modifica el hecho de que es 99 veces más probable encontrar el premio que en la puerta que has elegido. La elección es entre tu puerta y el resto de puertas.

    Comentario por JuanMa | 31 enero, 2009

  8. La verdad es que yo hubiese cambiado seguro…

    …porque lo vi en “numb3rs” con cabras y coches.

    Comentario por Stonet | 31 enero, 2009

  9. Conocía el problema de Monty-Hall, y al principio yo tampoco acababa de verlo, hasta que me puse a leer todo el artículo de la Wikipedia 😛

    Buena entrada, saludos!

    Comentario por DarkSapiens | 8 febrero, 2009

  10. […] por impulsos y sentimientos, que por probabilidades o posibilidades de éxito. En el juego de la cabra y el coche ya anailizado en este blog, mucha gente se quedaba con su primera elección, aun a sabiendas que […]

    Pingback por Y mi decisión es… « …¿Dónde hay Matemáticas?… | 22 febrero, 2009


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