…¿Dónde hay Matemáticas?…

El Blog de Ciencia Vista Desde el Ámbito Matemático

Repitamos hasta el infinito…


…Porque señores, después de mucho pensarlo, he llegado a la conclusión de que hay diferentes tipos de infinito…


Saludos a todos:

nieve¿Alguna vez se han preguntado cómo es la estructura(forma) de un copo de nieve?¿Existen formas en la naturaleza formadas a su vez por formas ideénticas a ellas mismas,que a su vez….?

La respuesta es si. Estos son los denominados objetos y formas fractales, y en esta entrada voy a intentar hacer un resumen rápido y sencillo sobre el tema. No trataré ecuaciones, ni ningún tipo de teoría de conjuntos. Solamente trataré de describir y definir estos objetos, y sus apariciones en la naturaleza.

Empezaré por definir este tipo de formas. Pasando despues a los ejemplos históricos y terminando con los ejemplos más complejos y alguna que otra curiosidad al respecto.

Asi que sin mas preámbulos, comencemos:

Introduciré la idea de fractal desde el principio,  y cómo no , este no puede ser otro que no sea una definición. Asi pues, definamos fractal: objeto semi geométrico cuya estructura básica, “fragmentada o irregular”, se repite a diferentes escalas. Cómo se puede apreciar, no es una definición muy formal, asique vamos a dar unas características de estos objetos:

  • No puede ser descrito en términos geométricos tradicionales gracias a su irregularidad.
  • Posee detalle a cualquier escala de observación.
  • Se puede definir mediante un algoritmo recursivo.

Bueno, pues despues de esta definición, en la que faltan cierto tipo de detalles muy técnicos. Vallamos con lo divertido, los ejemplos.

  • Para encontrar el primer ejemplo de un fractal, deberemos viajar unos años en el tiempo, hasta el 1870 aproximadamente. Cuando apareció la “función Weierstrass”, cuyo grafo se considera un fractal. Esta función es un ejemplo de una función continua en todo R, pero no diferenciable en ningún punto de la recta real. Esta función se define de la siguiente manera:

4f56451a72f54e00a50696cc147d7b3d

  • Para continuar con los ejemplos, deberemos avanzar un poco en el tiempo, concretamente hasta el 1904, cuando un señor llamado Helge von Koch, definió una curva con unas propiedades análogas a la de Weierstrass: “el copo de nieve de Koch“.
  • Ahora vamos a tratar los “conjuntos de Julia”. Surgen como aplicación sucesiva de funciones holomorfas.Se puede demostrar que estas funciones son equivalentes a las funciones enteras, que para los poco puestos en el asunto, son funciones que se pueden escribir como una serie de potencias. Bueno, pues la frontera del conjunto de valores complejos que hace que dicha serie no tienda a infinito es el conjunto de julia.

julia_set_camp2 Este es un ejemplo de conjunto de Julia para la función fc(z) = z2 + c. Como se puede apreciar, el propio dibujo esta formado por otros dibujos, exáctamente iguales a él, pero a escala menor. Siendo la unión de estos infinitos dibujos, lo que hace esta curiosa forma fractal.

Dentro de la familia de conjuntos de Julia {fc} hay uno que resalta. Estoy hablando del Conjunto de Mandelbrot,cuya imagen está abajo. Este conjunto resalta por que tiene la propiedad de ser conexo.


mandelbrot_and_julia1

Podría seguir citando ejemplos. Pero voy a pasar a una aplicación práctica de los fractales. Una simple pregunta, es la que generará la última parte de la entrada:

¿Cuánto mide la costa de Inglaterra?

Una pregunta tan simple cómo esta, no tiene una respuesta tan sencilla. Pues depende la escala de medida que cojamos. Así si la medimos desde un satélite, nos saldrá una medida, y si la medimos andando nos saldrá otra, parecida, pero diferente. Si la midiera un virus, saldría otra, parecida a las anteriores, pero diferente igualmente.

Este hecho simplemente declara que la distancia medida de una costap uede comportarse a la hora de las mediciones como un fractal.Pero evidentemente no sería un fractal, pues sería físicamente imposible. Aún así, este es un ejemplo de la vinculación de las matemáticas con las formas naturales,tema no creído por muchos, pero que está ahí.

Un saludo

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4 febrero, 2009 - Posted by | Ciencia&Curiosidades, Ciencia&Matemáticas, Matemáticas

9 comentarios »

  1. Echo en falta el Fractal por excelencia: El Conjunto de Cantor.

    Comentario por Tito Eliatron | 5 febrero, 2009

  2. Puf, es que me pareció demasiado complejo para incluirlo en la entrada. Cierto es que es un fractal importante, pero meterse con él es complejo, por que de haberlo incluido, me hubiera gustado introducir sus relaciones con la Teoría de la Medida y ya es un buen meollo.

    Citarlo sin más, no me convencía.

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 5 febrero, 2009

  3. Buenas

    Me parece muy interesante tu blog, y siento que mi primer comentario tenga que ser éste:

    “Vallamos con lo divertido, los ejemplos.”

    Creo que lo que quieres decir es “Vayamos”, salvo que quieras poner una valla 😉

    Comentario por Antonio | 6 febrero, 2009

  4. Bueno, hay algún detalle con la ortografía, pero el contenido está bastante interesante 😀

    Siempre me han gustado los fractales.

    Saludos!

    Comentario por DarkSapiens | 8 febrero, 2009

  5. ¿Para la “función Weierstrass” es necesario ese pi?
    Saludos

    Comentario por Stonet | 14 febrero, 2009

  6. Si, date cuenta que estás trabajando con cosenos. Y buscas una función no diferenciable en ningun punto. Ese Pi ayuda mucho.

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 14 febrero, 2009

  7. […] Un artículo interesante sobre fractales: Repitamos hasta el infinito… […]

    Pingback por Arte y matemáticas: Mechanical Fractals | El Blog de Pablo | 17 febrero, 2009

  8. no entiendo una mierda¡¡¡

    Comentario por elperiodicodelliceo | 26 marzo, 2010

  9. Ahora lo entiendo… enhorabuena por el artículo¡¡¡

    Comentario por elperiodicodelliceo | 26 marzo, 2010


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