…¿Dónde hay Matemáticas?…

El Blog de Ciencia Vista Desde el Ámbito Matemático

El Problema del Primer Dígito


Todo número es cero ante el infinito.

Saludos a todos.

Dos entradas en una semana, que logro… En esta entrada voy a intentar contar o seguir contando cosas extrañas que ocurren cuando defines una probabilidad en los números naturales. Como dije en la anterior entrada, esta probabilidad tiene un peculiaridad, que si somos estrictos la convierte en una no-probabilidad.

Pero bueno, de lo que voy a tratar en esta entrada es de contar (que no explicar, ya que requiere conocimientos algo avanzados) una cosa muy curiosa que ocurre cuando definimos esta “probabilidad” en el conjunto de los números naturales. El primero que vio esta tendencia extraña fue Gauss, y más extraño es el pensar cómo se le ocurrió pensar en ello…

Pero voy a dejar de hablar de cosas que aún no he contado y voy a contarlas. Y cómo no, todo gran problema comienza con una “gran” historia….

En la primera década del siglo XIX, un gran matemático llamado Carl Friederich Gauss encontró una tendencia dentro de cualquier subconjunto de los números naturales. Gauss dijo:

Dado un subconjunto infinito de los números naturales escogido de forma aleatoria, si escogemos un número al azar de dicho subconjunto, la probabilidad de que empiece por 1 es mayor que de que empiece por cualquier otro dígito.


Técnicamente, no sólo dijo eso, si no que además formuló una hipótesis sobre la probabilidad de cada dígito (pero no adelantemos acontecimientos). Hipótesis que no fue capaz de demostrar. Esto a priori choca un montón con la concepción clásica que tenemos de probabilidad. ¿Cómo es posible que un dígito sea más probable que el resto? Realmente no tiene mucho sentido. Pero como Gauss no lo demostró, también podemos no creernos esta hipótesis.

Este problema estuvo sin resolver años, hasta que unos matemáticos de la universidad de Luis Pasteur (Francia) demostraron en 1983 que Gauss tenía razón. Y valla problemón tenemos ahora,¿así que Gauss tenía razón? ¿Es un díjito más probable que el resto? La respuesta ahora, sin lugar a dudas es sí.

Voy a intentar contaros la resolución del problema de una forma sencilla y sin entrar demasiado en detalle. Tenemos que definir una probabilidad “razonable” y no trivial sobre los números naturales.¿Qué quiero decir por razonable? Pues que no sea absurda, que la probabilidad de los pares sea 1/2, la de los múltiplos de 3 sea 1/3 ,… Y como vimos en la anterior entrada esto no resulta para nada fácil. De hecho, es imposible definir una probabilidad “razonable” y no trivial de forma clásica sobre este conjunto.

¿Qué se hace entonces? Rebajar una condición que poseen las probabilidades, de forma técnica lo que hacemos es rebajar de sigma-aditividad a aditividad finita. ¿Qué quiere decir esto? Pues a grandes rasgos que rebajamos el segundo axioma de Kolmogorov a uniones finitas.

Haciendo esto, y un desarrollo teórico bastante grande, se puede concluir que éxiste una única probabilidad sobre los números naturales que cumpla nuestras exigencias. Muy bien, acabamos de conseguir una única “probabilidad” (la entrecomillo por que he rebajado un axioma) sobre los naturales que es razonable y no trivial.

Voy a adjuntar la fórmula de  ésta probabilidad sólo para que se hagan una idea de la complejidad del asunto:

Con E un subconjunto de partes de N y s>1. Como veis no es nada sencilla ésta probabilidad, complicada de definir, complicada de hacer cálculos con ella, pero eso no viene al caso. La parte más complicada del problema, deducir y definir una probabilidad sobre los naturales estaba resuelta. Además, estaba resuelta de la mejor manera posible, dando unicidad. ¿Qué tenemos entonces? La única manera de calcular la probabilidad de cualquier subconjunto de los naturales es utilizar la fórmula de arriba.

¿Qué queda ahora? Pues calcular la probabilidad, de que un número elegido al azar de un subconjunto de los naturales empiece por una determinada cifra. Evidentemente la posibilidad de que un número empiece por 0 se obvia, y sólo se calculará la de los 9 primero naturales.

Bueno, pues haciendo unos cálculos bastante laboriosos (ya que como veis aparece ahí la función Zeta de Riemman) se puede demostrar que la probabilidad de que un número empiece por k (con k desde 1 hasta 9) es (chan chan!!):

Y evidentemente esto no da una distribución equiprobable. Claro, cuando te enseñan esto, lo primero que se te ocurre es ver si la suma de esas cifras sale 1, pues sí. De hecho, forma una distribución de probabilidad. Luego nuestro problema está resuelto, que el primer dígito de un número sea 1, es más probable que, que sea el 2. Que sea el 2, es más probable que el 3…. y asi hasta el 9. De manera que si haces las cuentas, la probabilidad de que un número empiece por 1 es 6 veces mayor que la probabilidad de que empiece por 9.

Pero bueno, la gente pensará :”Pss, habéis hecho todas las trampa que habeís querido.¿Cómo no va a salir lo que pretendíais?”. Y a esto respondo, es cierto que hemos hecho trampas, pero al demostrar la unicidad de esta probabilidad, es una verdad irrefutable, que sólo existe esta “probabilidad” sobre los naturales.

Como colofón, sólo decir que cualquier subconjunto infinito escogido de forma aleatoria de los naturales sigue teniendo esta propiedad. Los números primos, son más frecuentes los que empiezan por 1. El primer dígito de las longitudes (naturalizadas) de todos los ríos del mundo suele ser el 1. Y así con una cantidad infinita de subconjuntos de los naturales que se nos ocurran.

Además, este hecho se a usado desde que se descubrió para detectar fraudes, tanto informáticos como económicos. Para ello, se utilizan otras herramientas de la que hoy no toca hablar, igual otro día hago una entrada que trate de esto.

Y antes de despedirme, decir que lo que predijo Gauss fue exactamente la fórmula de arriba. ¿Cómo se le ocurrió? Ni idea, pero cuanto menos es perturbador el pensar que 200 años antes de la demostración y formalización de esta probabilidad, se le ocurriera a Gauss…Más y cuando, de aquella la probabilidad, como rama de las matemáticas, no existía….

Ya me diréis si la entrada os ha parecido curiosa o no. Al menos a mí me parecía un tema intrigante que poca gente suele conocer, pero igual estoy ya demasiado loco…. Por cierto, que aún no lo he dicho, con esta entrada participo en el II Carnaval de Matemáticas.

Un saludo

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4 marzo, 2010 - Posted by | Matemáticas

11 comentarios »

  1. Me encantan los científicos estos antiguos. Dicen algo sin demostrarlo, se quedan tan panchos, y a la vuelta de los siglos resulta ser verdad.

    Eso mismo nos contó nuestro profe de mates hace unas semanas. Otro científico, Fourier, se inventó una teoría que no demostró y se quedó tan pancho y a la vuelta de los años… anda! no solo es verdad sino que todo el mundo digital está montado encima de eso! manda webos! xD

    Saludos!

    PD: Lo siento, es que con tanta probabilidad me pierdo :S

    Comentario por erMoya | 4 marzo, 2010

  2. No se lo inventaban exáctamente. Ellos hacían cosas, iban investigando en sus historias. Y de repente, algo les parecía lógico, aunque no eran capaces de probarlo, lo postulan como hipótesis, y a ver si alguien puede, o por el contrario se encuentra un contraejemplo que haga incorrecta esa proposición.

    Básicamente así avanza la ciencia. No sólo las matemáticas. Hoy en día, se siguen postulando cosas que no se llegan a demostrar a demostrar y ahí quedan hasta que alguien lo consiga. O no. Lo que pasa, que las matemáticas han avanzado muchísimo en estos siglos, y los problemas que se postulan ahora, no es capaz de entederlos alguien ajeno a este mundillo. En cambio, problemas de probabilidades los entiende casi todo el mundo.

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 4 marzo, 2010

  3. ¡Ya era hora de que volvieras! 😉

    No sé mucho de bases y todo eso, pero si por ejemplo trabajáramos en hexadecimal o en binario ¿no deberíamos cambiar la base del logaritmo de la fórmula por 16 y 2?

    Saludos

    Comentario por stonet | 5 marzo, 2010

  4. Si el 10 es debido a la base en la que trabajamos. Si cambiamos de base, cambia la formulita pero se sigue cumpliendo….

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 6 marzo, 2010

  5. Corrije esto, por favor:

    ¿Es un díjito más probable que el resto?

    Comentario por Anonimouse | 7 marzo, 2010

  6. Ahora que lo pienso…en binario todos los números empiezan por 1 luego sería absurdo aplicar la fórmula 😕

    Comentario por stonet | 7 marzo, 2010

  7. Stonet, la fórmula tiene perfecto sentido en base 2… Como todos los números empiezan por 1, esto implica que la probabilidad de que un número empiece por 1 es 1. Y Log_2 (1+1/1)=1

    un saludo

    Comentario por Beleragor | 8 marzo, 2010

  8. La ley de Benford sin demostración siempre llama la atención y ha sido objeto de muchas entradas en blogs. A mí me gusta especialmente la del genial Terence Tao, “Benford’s law, Zipf’s law, and the Pareto distribution.” Hay incluso un vídeo en youtube con una demostración en Mathematica.

    Comentario por emulenews | 8 marzo, 2010

  9. […] El Problema del Primer Dígito [ ciencimat.wordpress.com ] […]

    Pingback por El Problema del Primer Dígito - apezz.com | 29 marzo, 2010

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  11. “Y valla problemón… ”
    ¡Vaya espanto!

    Comentario por S. | 10 marzo, 2014


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