…¿Dónde hay Matemáticas?…

El Blog de Ciencia Vista Desde el Ámbito Matemático

Una Historia Curiosa…


“Los conceptos y principios fundamentales de la ciencia son invenciones libres del espíritu humano.”


Saludos de nuevo.

Hoy voy a hablaros de una historia que duró casi 4000 años, y que para nuestra desgracia no tuvo un final tan deseable como el que suelen tener las películas.  Voy a hablaros de la historia de las ecuaciones… Todos conocemos la fórmula de la resolución de una ecuación de segundo grado, es la primera fórmula que te enseñan (y seguramente la única) para resolver las ecuaciones. Todos hemos aprobado algún examen gracias a esa fórmula, y todos nos hemos equivocado al aplicarla alguna vez (aunque sólo sea por el mero hecho de haberla aplicado tantísimas veces), pero hay dos cosas de esta fórmula que no sabe todo el mundo:

  • No se puede aplicar siempre.
  • ¿Sabéis de dónde sale esta fórmula?

Igual es una deformación profesional por eso de ser un proyecto de matemático, pero yo, cuando veo una fórmula siempre intento resolver las dos cuestiones anteriores… Pero este no es el tema central de la entrada, y empecemos con la historia…. Las primeras apariciones en textos antiguos de “ecuaciones” datan del 1800 al 1600 a.C. en Mesopotamia, y traen algunos métodos para resolver ecuaciones lineales, aun que claro, la notación y forma de resolución de antaño dista una infinidad de la que nosotros poseemos actualmente. Habrían de pasar unos cuantos años, hasta el 1650 a. C. , que es la fecha de la que data el Papiro de Rindh, escrito en Egipto. En este texto casi puramente matemático se muestra un método de resolución general de ecuaciones de primer grado. La humanidad acaba de dar un paso, el primero, para dar la solución general de una ecuación para cualquier grado. Este papiro muestra además que los egipcios podía resolver cierto tipo de ecuaciones de segundo grado, aunque aun desconocían un método general de resolución, que será el siguiente paso de nuestra historia.

Pasarían nada menos que 1500 años, hasta que un griego, Diofanto de Alejandría, diera con la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de segundo grado, la fórmula que aparece en la primera imagen de esta entrada. El segundo paso estaba logrado, se habían resuelto “todas” las ecuaciones de primer y segundo grado. Y en este momento de nuestra historia surge una pregunta, ¿Se podrán resolver todas las ecuaciones para cualquier grado? Pero vamos a intentar ir por pasos, después del segundo grado, viene el tercer grado…

Pero de nuevo habrían de pasar muchos años, otros 1700 aproximadamente, hasta que un matemático Italiano llamado Niccolo Fontana (Tartaglia para los amigos). Este  matemático demostró dos cosas:

  1. Dada una ecuación de tercer grado, x3 + bx2 + cx + d = 0, haciendo el cambio de variable, x = t – b/3, se reduce a una ecuación del tipo x3 + px = q. En la que ha desaparecido el término de segundo grado.
  2. Encontró y demostró la fórmula general para la resolución de ecuaciones del tipo x3 + px = q

De este modo y con estas dos aportaciones, Tartaglia, 1700 años después de la demostración del método general para la resolución de ecuaciones de segundo grado, había dado el siguiente paso en la resolución de las ecuaciones de grado arbitrario. La humanidad ya sabía resolver una ecuación cualquiera hasta tercer grado.

Pero aún quedaban unos cuantos grados…Poco despues de la resolución de la ecuación de tercer grado por Tartaglia, otro matemático Italiano, Cardano , dio la solución general para una ecuación de 4 grado cualquiera. Parecía que la cosa avanzaba ahora a pasos agigantados y desmesuradamente rápidos, en poco más de 10 años, se habían dado dos pasos, mientras que los dos pasos anteriores habían costado más de 3000 años.

Pero poco duró el entusiasmo,pues en 1824 enunciaría y demostraría un Teorema que le haría pasar a la historia de las Matemáticas. Este teorema dice que no existe fórmula general para la resolución de ecuaciones de grado mayor o igual a 5. Hay que aclarar que el teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado quinto o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas,el teorema afirma que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales.

Y fue entonces cuando llegó Galois, un matemático Francés que vivió apenas 21 años y en ese tiempo fue capaz de dejar una teoría que marcaría los comienzos del álgebra moderna. Galois escribo una teoría, que por su complejidad en la época sería rechazada por matemáticos de prestigio como Furier o Lagrange. Y que trata de responder a la pregunta, ¿qué ecuaciones son resolubles usando únicamente los coeficientes de forma  finita en operaciones de suma, multiplicación,y toma de radicales?

Pues creando nada más y nada menos que la Teoría de Grupos y ampliando en gran medida la Teoría de Cuerpos,dice lo siguiente: “Una ecuación es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois asociado es resoluble”

Esto sonará a chino a la mayoría de la gente, pero fué un avance importantísmo en las matemáticas, y una forma de saber si una ecuación se puede “resolver” o hay que recurrir a métodos numéricos… Las aplicaciones de la Teoría de Galois sobrepasan con mucho sus objetivos iniciales, y la base que sentó acerca de la Teoría de Grupos hizo posible el avance del álgebra hasta el punto en el que hoy se encuentra.

Después de casi 4000 años, el problema había sido resuelto, aunque ni mucho menos de la manera en la que se deseaba en un inicio, pues no se encontró la fórmula deseada…

Un saludo

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16 marzo, 2010 - Posted by | Ciencia&Curiosidades, Matemáticas, Un poco de Historia

14 comentarios »

  1. […] Una historia muy curiosa… ciencimat.wordpress.com/2010/03/16/una-historia-muy-curiosa/  por jlmlg hace 3 segundos […]

    Pingback por Una historia muy curiosa… | 16 marzo, 2010

  2. Holap:

    Muy interesante, pero la fórmula para resolver ecuaciones de 2do grado que aparece en el recuadro, hasta donde entiendo, SI puede utilizarse siempre para resolver ecuaciones de 2do grado… o acaso me equivoco??

    Deberías dejarlo más claro, pues sugieres que no es así… si me equivoco, podrías demostrarlo? 😉

    Saludooos 😛

    Comentario por Carlos Ruiz | 16 marzo, 2010

  3. Buenas.

    Lo sugiero para crear un poco de incertidumbre, ya que la entrada en sí no trata ese tema… Pero es cierto que no se puede usar siempre.

    ¿Si lo puedo demostrar? Pues sí, pero me gustaría saber antes de empezar que conocimientos de matemáticas tienes para explicarlo de un modo que puedas entenderlo y no extenderme más de la cuenta…

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 17 marzo, 2010

  4. Holap:

    Tengo los suficientes conocimientos como para entenderlo, pues he cursado varios ramos de cálculo, algebra lineal, geometría y ecuaciones diferenciales en la Universidad… te aseguro que comprenderé la demostración… 😉

    Saludooos 😛

    P.D: Pero hablas (escribes) en serio???
    Realmente esa fórmula no puede usarse para resolver cualquier ecuación de 2do grado??? o_O

    Comentario por Carlos Ruiz | 17 marzo, 2010

  5. Hablo totalmente enserio, esa fórmula no se puede usar siempre… Esto seguramente choque muchísimo, pues desde pequeñitos siempre hemos resuelto cualquier ecuación de segundo grado así… Aun que quizá es por que no hemos encontrado el caso en el que falla…

    Vamos a ver, una ecuación polinómica se resuelve sobre un determinado cuerpo (entendiendo por cuerpo la definición matemática de éste), y puede tener soluciones en éste cuerpo o no.

    El ejemplo más sencillo es x^2 + 1 = 0, sobre el cuerpo de los reales no tiene ninguna raíz, mientras que en el cuerpo de los complejos posee 2. Pero una cosa es que no tenga raíces y otra que no se pueda aplicar la fórmula maravillosa.

    Se define la característica de cuerpo G, Kar G = min{n naturales/ n*1=0} (dónde 1 es el neutro del producto)

    Bueno, pues si tomamos un cuerpo G con Kar G = 2, la fórmula no se puede aplicar, pues dividimos por 0 y la división por 0 nunca está definida en un cuerpo.

    La ecuación puede tener raíces, pero no las encontraremos con esta formula. Si necesitas más explicaciones, no dudes en preguntar.

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 17 marzo, 2010

  6. […] » noticia original […]

    Pingback por Recuperacion de datos » Blog Archive » Una historia muy curiosa… | 17 marzo, 2010

  7. Holap:

    En estricto rigor (muy estricto), tienes toda la razón.

    Pero estimado Beleragor… tal como tú mismo lo dices, mi argumento es el siguiente:
    “…una cosa es que no tenga raíces y otra que no se pueda aplicar la fórmula maravillosa.”

    Es decir, la fórmula en sí, efectivamente funciona… sólo que según las estrictas definiciones que utilizaste, queda invalidada.

    Por ejemplo, es como que yo dijera:
    Sea: Y(x)=x, Dominio=[-1,1], Recorrido=[-1,1].
    Dado lo anterior, y(3) no tendría solución… (de hecho, x=3 ni siquiera tendría sentido en este caso), por lo que yo podría declarar que la función y(x) descrita anteriormente “no tiene solución para todos los números naturales”, debido a las características que posee… y yo tendría toda la razón… xD

    Saludooos 😛

    Comentario por Carlos Ruiz | 17 marzo, 2010

  8. En efecto, esa ecuación no tendría soluciones en los naturales. El caso que yo te he contado es un caso particular en el que la fórmula no funciona, es cierto, que la mayoría de la gente nunca tendrá ese problema por que trabaja habitualmente en el cuerpo de los reales que no tiene característica 2.

    Pero cuando los reales quedan atrás aparecen todo tipo de cuerpos en los que muchas veces es necesario resolver ecuaciones, y como dije, esa fórmula en un tipo especial de cuerpos no funciona (no es sólo que no funcione, si no que su expresión carece de sentido) ,y esto es decir mucho, es como decir que una fórmula se puede usar en los naturales y no en los reales… La diferencia con tu ejemplo, es que en los naturales podrías usar tu fórmula de resolución y llegar a que no hay soluciones, mientras que en ciertos casos, no puedes ni tan siquiera aplicar la fórmula. No se si te referías a esto…

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 17 marzo, 2010

  9. ¿Sabes si esos cuerpos con Kar G = 2 aparecen en Física?

    Creo recordar que hace años, en primero, nos hablaste de ese cuerpo en el que no se podía dividir entre 0.

    Comentario por stonet | 18 marzo, 2010

  10. Puf, pues si te digo la verdad no puedo contestarte. Pero hasta dónde yo se, en física trabajais normalmente en cuerpos reales o complejos.

    Otro tema es que trabajéis en espacios vectoriales sobre otro tipo de cuerpos. O en espacios de Hilbert o prehilbert… Pero no tengo ni idea si en alguna de esas ramas tan exóticas de la física se trabaja en cuerpos con carácterística 2.

    De todas formas me intentaré informar y en cuanto sepa te cuento. Un saludo

    Comentario por Beleragor | 19 marzo, 2010

  11. ¿te puedo corregir una fecha? La cuadrática ya se resolvía correctamente en Babilonia, entre 1800 y el 1600 a.C., y el enunciado, con palabras, era idéntico al procedimiento actual nuestro, es como si leyeras la fórmula diciendo “elevo b al cuadrado…”

    Dos referencias buenas son Lectures in the history of mathematics HJM Bos (pag 2, se ve en google books), o el artículo The Babylonian Quadratic Equation de Berriman (Math Gazz. 40, 1956)

    Comentario por JuanPablo | 28 marzo, 2010

  12. ¿Eso es cierto?

    Por dónde me informé yo, en babilonia sabía resolver sólo ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas…

    un saludo

    Comentario por Beleragor | 28 marzo, 2010

  13. Bueno, es el mismo argumento que usás para decir que no siempre sirve, porque en característica 2 dividirías por cero! Para ellos, los complejos no existían, así que si les quedaban raíces complejas no se podía aplicar, pero sí sabían como hallar las raíces entre los números que manejaban (de hecho, igual que Cardano y Tartaglia, reescribían las ecuaciones para que sólo involucraran números positivos)

    Comentario por JuanPablo | 31 marzo, 2010

  14. […] Visión general de la evolución de la resolución de ecuaciones. […]

    Pingback por Ecuaciones y otras historias – AgoraMatesBlog | 6 mayo, 2016


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