…¿Dónde hay Matemáticas?…

El Blog de Ciencia Vista Desde el Ámbito Matemático

¡Menuda Paradoja!


Conceptos sin intuiciones son vacíos, intuiciones sin conceptos son ciegas.

Saludos a todos:

Buenas, en esta ocasión voy a hablar de algo que choca frontalmente con la intuición geométrica humana. Se trata de una serie de resultados que afirman que : ” Es posible dividir una esfera (llena) de radio 1 en ocho partes disjuntas dos a dos, de modo que, aplicando movimientos oportunos a cinco de ellas, obtengamos nuevos conjuntos que constituyan una partición de una esfera (llena) de radio 1, y lo mismo ocurra con las tres partes restantes.”

Basicamente lo que viene a decir, es que se puede partir una esfera en 8 partes disjuntas, de manera que al montarlas de una forma precisa, se obtengan dos esferas del mismo radio que la primera. Se puede ver que, como dije, esto va en contra de toda intuición geométrica, y de varios principios físicos. Pero bueno, vamos a intentar comentarlo.Comencemos:

El nombre de este resultado es “Teorema de Banach-Tarsky”, y es un resultado que se puede englobar dentro de la Teoría de la Medida. Habitualmente se encuentra acompañado de la palabra paradoja, pues la primera vez que alguien lee un enunciado como el anterior, que cuanto menos, sorprendido por lo leído.

Pero bueno, el resultado tiene el nombre de Teorema, así que podemos presuponer que es cierto. Entonces, si el resultado es cierto, podremos tomar una esfera, y al cabo de cierto tiempo, y cierto proceso, obtener dos esferas iguales a las anteriores. ¿Y por qué no lo hacemos? Pues la respuesta es muy sencilla: No podemos.

Y aquí seguro que algún físico estará sonriendo y diciendo algo así como : “Evidentemente mi joven amigo, esto viola el principio de conservación de la energía”. Y al matemático no le queda más remedio que agachar la cabeza, y asentir. Pero bueno, podemos seguir enrendando un poco más con el tema, a ver que pasa.

Lo primero que uno se pregunta es: Si se puede duplicar un volumen, ¿Qué es un volumen formalmente? Dar una definición de volumen no es fácil. Y ahí, en este momento entra en juego la Teoría de la Medida. Esta teoría es la encargada (simplificando mucho) de asociar a cada conjunto de un espacio, una “medida”. Entendiendo por medida, un número positivo, que puede caracterizar en parte al conjunto medido. Además. hay que asumir (se puede probar) que los movimientos conservan el volumen, es decir, que si mueves un conjunto en el espacio ocupa el mismo volumen, antes y después de moverlo, lo cual, no parece muy descabellado.

Así, es bastante evidente, que el volumen habitual de los cuerpos es una medida. Y de hecho, es de las medidas más conocidas, la Medida de Lebesgue. Esta medida en la recta real, asigna “longitudes”. En el plano, asigna “areas” y así, podemos seguir aumentando de dimensión y asignando “volúmenes”.

¿Se pueden medir todos los conjuntos? No, las medidas tienen el mismo problema que las probabilidades (de hecho una probabilidad es un caso particular de medida), no pueden medir todos los conjuntos. Esto tiene implicaciones muy serias, ya que produce por ejemplo que existan conjuntos de la recta real que no podemos medir. ¿Esto choca no? Algo tan habitual para nosotros como la recta real, y que nos den un conjunto y no sepamos medirlo, choca.

Pero esto que pasa para la recta real, también pasa en el espacio Euclideo. Dentro de este espacio, existen conjuntos a los que no les podemos asignar volumen. Y precisamente en esto se basa la prueba del Teorema de Bananch-Tarsky. De los 8 conjuntos en los que divide la esfera inicial, todos son no medibles, y no se les puede asignar volumen. Lo que produce, que matemáticamente el razonamiento sea perfecto. Y una vez construidas las otras dos esferas, a partir de la primera, volvemos a tener dos conjuntos que podemos medir (pues son esferas iguales a la primera).

Lo bueno de la demostración de este resultado es que es una demostración constructiva, es decir, te construye las ocho partes en las que dividir la primera esfera, te describe los movimientos que hay que hacer a esas partes y como juntarlos para que se formen dos esferas igual que la primera. La construcción de estas ocho partes hace uso del cuestionado “Axioma de Elección”.

Pero, para que no se me tiren al cuello unos cuantos físicos, he de decir, que es imposible construir en la realidad esos ocho conjuntos, que colocados de una manera producen una esfera, y colocados de otra dos, del mismo radio que la primera. Cuanto menos un hecho curioso, aunque de realización imposible.

Al final,lo que prueba la paradoja es que no es posible definir el volumen de cualquier conjunto de puntos: los trozos en que se descompone la esfera no tienen volumen (técnicamente, son conjuntos no medibles Lebesgue), por lo que no es posible apelar al hecho de que los movimientos conservan el volumen

Por último decir que la construcción de conjuntos no medibles es bastante compleja. Ya en la recta real, construir un conjunto no medible es complicado, según se va aumentando la dimensión (o cambiando la naturaleza del espacio) este tema aumenta de complejidad considerablemente. Es que como dije antes, ¿Como es posible que sobre la recta real se construya algo que no somos capaces de medir? He de decir, que se pueden medir cosas tan “raras” como los racionales o los irracionales, pero en cambio, hay conjuntos de los que no podemos conocer su medida , y eso, que tienen que estar formados por racionales e irracionales… No deja de ser curioso.

Dejo un link, para el que desee ver la demostración y construcción de este proceso. Realmente no es un archivo de lectura fácil, pero bueno, leerlo por encima, no es demasiado complicado. Al menos, siempre se puede abrir para ver que hay dentro….

Un saludo

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5 mayo, 2010 - Posted by | Matemáticas

16 comentarios »

  1. Muy interesante Beleragor 😉
    Tengo una pregunta:
    ¿Se puede aplicar la Teoría de la medida para conjuntos de números complejos?

    Saludos.

    Comentario por Stonet | 5 mayo, 2010

  2. La Teoría de la Medida se construye sobre un espacio cualquiera con cardinal arbitrario. Y lo más influyente en su construcción es el cardinal del espacio.

    La ventaja de trabajar en R es que conocemos relativamente bien los conjuntos que se pueden medir y los que no (con medidas habituales)… El cuerpo de los números complejos es isomorfo a R2, y por tanto los conjuntos que se pueden medir en R2 (que se conocen relativamente bien) serán ,a través del isomorfismo, los que se pueden medir en C.

    Tengo curiosidad,¿Por qué la pregunta?

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 5 mayo, 2010

  3. […] ¡Menuda Paradoja! ciencimat.wordpress.com/2010/05/05/%C2%A1menuda-paradoja/  por Splinter hace 2 segundos […]

    Pingback por ¡Menuda Paradoja! | 6 mayo, 2010

  4. Básicamente porque me gustan los números complejos.

    Comentario por stonet | 6 mayo, 2010

  5. Que desilusión… Yo me esperaba algo más elaborado. xD

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 6 mayo, 2010

  6. Saludos.

    ¿No es un juego de visiones isométricas, u de otro tipo?
    Es decir el volumen al inicio y al final es el mismo. Me explico el crea dos particiones de esferas de radio 1, no dos esferas idénticas a la primera. Es decir las dos particiones creadas vistas desde un ángulo determinado parecen una esfera(en ese lado tienen forma de esfera de radio 1), pero si varias el ángulo de percepción descubres que no son completas.

    Esa es mi opinión, no se si hay puede estar la clave.

    Comentario por JM2000 | 2 junio, 2010

  7. No,no es ningún juego de visiones. El resultado es tal cual lo enuncio: ” Es posible dividir una esfera (llena) de radio 1 en ocho partes disjuntas dos a dos, de modo que, aplicando movimientos oportunos a cinco de ellas, obtengamos nuevos conjuntos que constituyan una partición de una esfera (llena) de radio 1, y lo mismo ocurra con las tres partes restantes.”

    El volumen final es el doble del volumen inicial. Y sólo hemos cortado y movido…

    Comentario por Beleragor | 2 junio, 2010

  8. Entonces hay errores en el calculo del volumen. Errores que se deben o bien a errores humanos o bien a limitaciones, o peculiaridades , del lenguaje matemático.

    Si es una operación cierta tendría que poder-se hacer en la realidad. Si no se puede hacer y en cambio si es posible en el mundo matemático abstracto, se demostraría que las matemáticas pueden demostrar en su lenguaje hechos no reproducibles en la realidad (hechos que no existen ni pueden existir). Entonces las matemáticas perderían fuerza, o siempre tuvieron ese problema, como herramienta de demostración científica, pues quedaría demostrado que lo que es demostrable y posible matemáticamente no tiene porque coincidir con la realidad y por lo tanto una demostración matemática no podría traducirse con certeza en hechos existentes en el mundo real.

    Comentario por JM2000 | 2 junio, 2010

  9. No tiene nada que ver con eso. Todo en ese problema está bien definido. El asunto está en que esos conjuntos no son “medibles”(este concepto tiene una definición precisa) y sólo los conjuntos medibles son construibles (esto se puede probar) en la realidad. Pero nada te impide definir cosas que no tengan relación alguna con la realidad. Un círculo mismo, que es un concepto sencillo no existe en la naturaleza, y no veo ninguna queja al respecto.

    El pensamiento matemático abstracto no tiene por que estar ligado a la realidad. Las matemáticas no son como el resto de ciencias, que intentan explicar el mundo en el que vivimos. Las matemáticas subsisten por si mismas, sin la ayuda y el apoyo de la realidad. Luego coincide que si las aplicas a la realidad te salen resultados muy interesantes…

    Comentario por Beleragor | 2 junio, 2010

  10. El pensamiento matemático abstracto no tiene por que estar ligado a la realidad. Las matemáticas no son como el resto de ciencias, que intentan explicar el mundo en el que vivimos. Las matemáticas subsisten por si mismas, sin la ayuda y el apoyo de la realidad.

    Entonces si las matemáticas subsisten sin apoyo de la realidad no debe sorprendernos, más allá de la admiración por la complejidad del proceso, que se puedan obtener resultados imposibles en la realidad como el teorema explicado de la esfera.

    La física se apoya en las matemáticas, y la física si que busca explicar la realidad. Viendo que las matemáticas son independientes de la realidad se ha de ser cuidadoso a la hora de decidir donde emplearla.

    Comentario por JM2000 | 2 junio, 2010

  11. Es un poco más sutil que eso. El pensamiento matemático y el desarrollo matemático es independiente de la realidad. Pero como dijo Eisntein, es sorprendente con que precisión se acopla a ella.

    Cuando se desarrolla una teoría física, una parte fundamental es dotarla del desarrollo matemático oportuno, y ahí los físicos tienen que tener cuidado, es cierto.

    Pero la física a parte de apoyarse en las matemáticas, se apoya en hechos experimentales, si los resultados del laboratorio no se corresponden con los resultados teóricos es que algo falla…

    Comentario por Beleragor | 2 junio, 2010

  12. En esto ultimo estoy completamente de acuerdo.

    Comentario por JM2000 | 2 junio, 2010

  13. creo que en el articulo hay trampa.

    La verdad es que no me puse a armar y desarmar mentalmente las esferas, es que el texto esquiva la cuestion fundamental, mas alla del volumen, con la que creo tendria mas sentido la ley de conservacion de la energia.

    la masa

    es verdad que la primer esfera estaba llena y tenia radio 1. Sin embargo no se aclara que las esferas resultantes tambien esten llenas, solo que, efectivamente, son esferas, y de radio 1 (la particularidad del caso). Siendo asi, uno puede armar muchas, MUCHISIMAS, esferas de radio 1 (huecas) a partir de una esfera de igual volumen y diferente masa.

    Dicho de otra manera: el volumen de “las partes que constituyen a las esferas resultantes ANTES de formarlas”, es menor al de la esfera original. Lo igualarían si se borraran los bordes de las caras internas de las partes que forman segundas esferas, pero no siendo el caso (dado que no se aclara),no impediría que tuvieran “radio 1” ni violaria el principio de conservacion de la energia.

    es perfectamente comparable a cualquier material de construcción, como el cemento.
    Puedo hacer un bloque de cemento maziso o hueco, pero ambos con el mismo volumen, solo que el segundo tendra menos masa.

    Comentario por el_chanis | 22 octubre, 2010

  14. pensandolo un poco, y como resultado de lo que escribi recien… un podria armar una esfera hueca de radio 1000, 1.000.000, o de 34 a la enecima potencia a partir de una esfera de radio 0,5 dependiendo del tipo de “material”, dicho de otra manera, dependiendo de la masa que contenga.

    Comentario por el_chanis | 22 octubre, 2010

  15. bueno, tengo que admitir el error, acabo de leer el link, y si, las resultantes SON ESFERAS LLENAS (aunque aca no se aclaraba ¬¬).
    Eso cambia dramaticamente el encare del problema.
    De todas maneras no es la primera vez que me encuentro con este tipo de situaciones locas en matematica.

    Creo que lo mas bizarro que encontre (a pesar de ser bastante basicos en el ambito) es la distancia infinita entre 2 puntos cualquiera =P. Lo deben conocer, el problema del vuelo de la flecha o de aquiles y la tortuga.

    Comentario por el_chanis | 22 octubre, 2010

  16. Reblogueó esto en NeurinSc.

    Comentario por NeurinSc | 2 mayo, 2016


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