Y el puente se cayó…

«Cuando hay varios modelos para explicar un fenómeno, es que ninguno de ellos lo explica bien»

Saludos:

Hacía ya bastante tiempo que no hacía una entrada, no se si por falta de tiempo o por falta de ganas. El caso, es que ya tocaba, y aquí estamos de nuevo.

Hoy hablaré sobre el Puente de Tacoma, un puente que empezó a bambolearse, el solito, sin más que la ayuda del viento. Hasta que un buen día, el 7 de Noviembre de 1940, decidió que no quería seguir vivo, y se rompió de forma espectacular.

Pero bueno, como es típico de este blog, yo no haré una narración meramente descriptiva de los hechos, sino que intentaré profundizar un poco más en el problema para intentar darle una explicación coherente.

Asi que sin más rodeos, empecemos:

En primer lugar, voy a adjuntar un video que muestra lo que le pasaba al puente, ya que en la imagen superior no se puede apreciar suficientemente bien.

Una vez vista la película anterior, comencemos con las explicaciones técnicas. ¿Qué se entiende por resonancia? Pues la resonancia mecánica es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico (frecuencia natural) de dicho cuerpo. Cuando esto pasa, el cuerpo aumenta progresivamente la amplitud de su movimiento tras la actuación de la fuerza.

Así que durante mucho tiempo, lo que se pensó que había ocurrido fue que de alguna manera coincidieron la fuerza que ejercía el viento sobre el puente, y la frecuencia natural de éste, haciendo vibrar cada vez con más fuerza al puente, hasta que se rompió. Pero unos estudios realizados por Lazer y McKenna hacen pensar que el fenómeno que llevó el puente al suelo, es más complejo que la resonancia.

Voy a intentar plantear un modelo similar al de estos dos individuos, aunque evidentemente será mucho menos complejo, y bastante más resoluble.

Comenzaremos, suponiendo un cable, que cuelga del puente verticalmente. El cable tiene una longitud natural y su extremo lo colocaremos en x=0. Queremos modelar el cable como si fuera un resorte utilizando la Ley de Hook con diferentes constantes de resorte, dependiendo si comprimimos o estiramos el cable (respectivamente x<0 ,x>0). Denotaré por «a» a la constante de compresión, y por «b» a la constante para el estiramiento. De este modo, y debido a las característica de los cables de los puentes (esto no lo puedo justificar) tendremos que 0<a<b.

Defino la siguiente función, que utilizaré posteriormente para definir la ecuación diferencial que rige el comportamiento del puente utilizando la Ley de Hook para resortes en ausencia de amortiguamiento.

Quedando de esta manera la ecuación diferencial final definida por :

Dónde g(t) representa la fuerza debida al viento. Pues ahora sólo queda simular, utilizaré MatLab, y simularé el comportamiento en el espacio de fases de esta ecuación, con las condiciones que había el día en el que quebró el puente.

Explicaré la gráfica de forma breve. La gráfica pintada en color azul (la de abajo, ya que no se ve muy bien) es la gráfica que simula la vibración del puente con unas condiciones «normales». Como se puede apreciar, se ve que no está estático, sino que se mueve (como se ve en el video). Sin embargo, la gráfica negra (superior) simula el comportamiento del puente con las condiciones que había en el momento de quebrarse. No creo que necesite muchas más explicaciones, marcha directo al infinito, y como el material no da tanto de si, rompe.

Evidentemente a partir de este suceso, se empezó a considerar un problema serio la resonancia en puentes y grandes edificios, y, aunque no se puede evitar que vibren u oscilen, si se pueden crear de manera que no lleguen a romper nunca, debido a que las condiciones que se necesitarían para repetir el comportamiento de este maravilloso puente simplemente escapan de las posibilidades que nuestro planeta puede ofrecer.

Un saludo