…¿Dónde hay Matemáticas?…

El Blog de Ciencia Vista Desde el Ámbito Matemático

¿Podemos confiar en la Probabilidad?


El destino se ríe de las probabilidades.

Buenas.

Hace bastante tiempo que no escribo en el Blog, no se si por falta de tiempo (valga la redundancia), por falta de ganas, o por falta de algo interesante que poder contar. Sea como fuere, vuelvo con una entrada a mi parecer de cierto interés. En ella discutiré sobre la capacidad de creernos o no creernos lo que es la probabilidad.

A la hora de definir una probabilidad, entran en juego varios elementos que pueden traer problemas a la hora de trabajar con ésta. Y de ésto va a tratar esta entrada, de cómo esos problemas pueden traer como consecuencia el que una probabilidad, que no esté definida de forma rigurosa no sea “creible”.

Para ello voy a empezar con una pregunta sencilla. ¿Qué entendemos por probabilidad? Parece una pregunta subjetiva y sin ningún rigor científico, pero intuitivamente, todos tenemos una definición de probabilidad, que puede distar o no, de la rigurosa dada por las matemáticas.

¿Qué entiende un sujeto de mi casa escogido al azar por Probabilidad? (Y fue escogido al azar, otro tema interesante a tratar, aunque será en otra entrada).

Es la posibilidad de que un determinado suceso ocurra.

¿Qué entiendo yo por probabilidad?

Es una aplicación de tipo “medida”, que parte de una sigma-álgebra de sucesos de un espacio muestral, y llega al intervalo [0,1].

Parece que no he dicho nada relacionado con la probabilidad. Pero voy a hacer una ostentación de veracidad para decir que la definición buena de probabilidad es la mía. No voy a entrar en lo que es una sigma-álgebra, ni en miles de propiedades deducibles de que la aplicación es una medida. Sólo me voy a quedar con una propiedad que posee la probabilidad: “La sigma-aditividad“.

Dicho de esta manera parece una propiedad monstruosa, pero viene a decir, que la probabilidad de la unión de una cantidad numerable de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades. Propiedad bastante intuitiva. Un ejemplo, queremos probabilizar un dado (no cargado), sabemos que la probabilidad del 1 es 1/6, y la del 2 también. Y es evidente, que son sucesos disjuntos,pues la probabilidad de sacar un 1 ó un 2 es 1/6+1/6=2/6.

Y aquí llega el gran problema, ¿Es lógico o coherente definir así una probabilidad? Parece que sí, que no hay ningún problema y que es una forma muy intuitiva. Más aún, trabajando en esta linea se ha conseguido desarrollar toda la inferencia y la Teoría de las probabilidades. Y parece que estas dos ramas de la matemática “funcionan”.

El problema es que la sigma-aditividad en mucho casos, aunque sea intuitiva, no es correcta. Supongamos que queremos construir una probabilidad sobre los números naturales. Queremos por tanto, una probabilidad, no trivial, y que sea “lógica”. Por ejemplo, parece intuitivo que la probabilidad de los pares sea 1/2, la de los múltiplos de 3 sea 1/3….  Bien, pues se puede demostrar que si queremos tener esta probabilidad, no puede ser sigma-aditiva. (La demostración es bastante rigurosa y de conocimientos relativamente avanzados en la materia)

¿Qué ha pasado entonces? ¿No se puede definir una probabilidad lógica sobre los naturales? No parece muy coherente, que en un conjunto tan sencillo con son los naturales, no podamos definir tal probabilidad. Pero así es. ¿Qué se hace ahora? Pues como nos está molestando una propiedad, la sustituimos por otra más débil y vemos si la cosa tira. Limitamos la sigma-aditividad, a una aditividad finita. Es no es más, que “una sigma-aditividad” pero para una cantidad finita de sucesos,no para una cantidad numerable (que puede ser infinita).

Parece entonces, que nuestro problema está resuelto. Y en cierto modo es cierto,tenemos construida una probabilidad sobre los naturales, aceptablemente lógica, pero a su vez hemos creado otro problema mayor. La inferencia, se basa en resultados como el Teorema central del Límite, o la Leyes de los grandes números. Y estos resultados sólo son ciertos, si tenemos una probabilidad sigma-aditiva. Luego, en ciertos momentos, TODA la estadística se nos viene abajo.

¿Cual es el problema entonces? Pues que en general, la gente que usa la estadística, no es capaz de adentrarse tanto en el problema, por falta de conocimientos teóricos importantes. Y en numerosas ocasiones, no se puede aplicar. Ya que la probabilidad con la que están tratando no es adecuada para ser tratada así.

Parece que hemos llegado a un callejón sin salida, y realmente así están las cosas en este momento. Se cree que la sigma-aditividad es la opción correcta, por que a partir de ella se desarrolla toda la estadística, y la estadística funciona. Pero en muchos casos, la aditividad finita es más lógica y nos rompe todos lo esquemas…

¿Qué pensar entonces?¿Podemos entonces fiarnos de la probabilidad? Parece que no, que la construcción rigurosa de ésta aplicación trae varios problemas serios y de difícil solución. Bueno, no seré yo quien lo juzgue, lo dejo a vuestra elección.

Un saludo, y espero que no fuera muy “técnica” esta entrada.


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2 marzo, 2010 - Posted by | Ciencia&Matemáticas, Matemáticas

17 comentarios »

  1. Sorprendente entrada. Con lo bonitas que son las cosas en física cuando no tenemos por medio las probabilidades de la cuántica… xDD

    PD: Sí, odio la mecánica cuántica 😛

    Comentario por Wis_Alien | 2 marzo, 2010

  2. […] ¿Podemos confiar en la Probabilidad? ciencimat.wordpress.com/2010/03/02/%C2%BFpodemos-confiar-en-…  por Splinter hace 2 segundos […]

    Pingback por ¿Podemos confiar en la Probabilidad? | 2 marzo, 2010

  3. […] » noticia original […]

    Pingback por ¿Podemos confiar en la probabilidad? | El Noticiero | 3 marzo, 2010

  4. Buen blog e interesante entrada, vas a favoritos aunque seguro que no entiendo ni el 10% de las entradas. Un saludo.

    Comentario por DaveMD | 3 marzo, 2010

  5. […] extrañas que ocurren cuando defines una probabilidad en los números naturales. Como dije en la anterior entrada, esta probabilidad tiene un peculiaridad, que si somos estrictos la convierte en una […]

    Pingback por El Problema del Primer Dígito « …¿Dónde hay Matemáticas?… | 4 marzo, 2010

  6. ¡No sé cómo te atreves a hablar de estas cosas en un blog! Tienes valor 🙂 No, en serio, enhorabuena por el blog & post.

    No conocía el problema que indicas, pero… no ocurre cuando se define sobre números reales, ¿verdad?
    No recuerdo los términos precisos, pero recuerdo que la condición para una definición correcta de “medida” de probabilidad incluían que si había discontinuidades (como podría imaginarme los enteros, a base de “funciones deltas” en los enteros) la “measure” de las zonas de discontinuidades fuera “nula”, lo que intuitivamente me parece que no debería ser un problema.

    Si tienes algún enlace con información más técnica del porqué no puede darse una “sigma aditiva” en los naturales, te lo agradecería :-).

    Comentario por JL | 4 marzo, 2010

  7. Es complicado responderte a todo esto por aquí. Y aun más complicado es darte una bibliografía dónde buscar la información… Te voy a intentar responder a grandes rasgos,y si sigues teniendo dudas, no dudes en preguntar.

    -Una medida es una aplicación que parte de una sigma-álgebra de conjuntos y va a parar a los reales positivos. Tiene infinidad de propiedades que no vienen al caso.
    -Si intentamos definir una probabilidad razonable (la probabilidad de los pares 1/2, la de los multiplos de 3 1/3) etc… La sigma-álgebra que contiene a esa clase de conjuntos resultar ser las Partes de N.
    -Teorema de Ulan. No se puede definir una probabilidad sigma-aditiva sobre partes con soporte vacío sobre un conjunto con cardinal igual o mayor que aleph 0.

    El resto es juntar las dos partes… Claro que debajo de todo esto, hay muchas más cosas, y muchos más detalles. Pero explicarlos es demasiado largo, e imposible sin una pizarra…

    Espero haberte aclarado algo, aunque seguro que lo que he hecho a sido complicarte las idea.

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 4 marzo, 2010

  8. Gracias por la explicación! La verdad es que vengo de ingenierías, y aunque me interesa mucho el tema, me temo que me queda mucho para entender todos los detalles 🙂

    “Intuitivamente” no veo el porqué del teorema de Ulan. En concreto, si es el tener soporte vacío parte del problema, porque si fuera así habría problemas en conjuntos de cardinalidad 10, p.ej. Y si el problema no es solo del soporte vacío, ¿por qué se hace problemático para naturales (o conjuntos mas grandes)? En fin… Pero te creo, eh!
    Seguro que la razón está en los montones de definiciones y propiedades de probabilidad sigma-aditiva que desconozco.

    Un saludo y gracias de nuevo!

    Comentario por JL | 5 marzo, 2010

  9. El por qué del teorema de Ulam… El problema no es tener el soporte vacío, de hecho toda distribución sobre los reales (continua) tiene el soporte vacío. Pero para eso se usan sigma-algebras, el problema es que la sigma-álgebra resultante de utilizar los conjuntos que queremos probabilizar es exáctamente P(N) y esto entra en contradicción con el Teorema de Ulam.

    De todas formas, en la siguiente entrada explico por encima (a modo divulgativo) como contruir una probabilidad sobre los naturales.

    Comentario por Beleragor | 5 marzo, 2010

  10. Hola, el Teorema de Ulam no se aplica a N, como puedes ver asignando a cada número natural n la probabilidad de 2 elevado a (-n).

    De hecho hay distribuciones “con nombre” sobre N, como la de Poisson o la geométrica, y claro que son sigma-aditivas.

    Comentario por Pedro Terán | 12 marzo, 2010

  11. El Teorema de Ulam se aplica sobre cualquier conjunto con cardinal mayor o igual que aleph 0. Y partes de N, tiene cardinal aleph 1.

    A lo que me refiero, es que no se puede probabilizar los números naturales con una probabilidad “razonable”(entendiendo por razonable a lo que me refiero en esta entrada y la siguiente). Ya se que hay distribuciones sobre los naturales, pero no probabilizan partes de N, sino una sigma-álgebra contenida propiamente dentro de partes de N.

    Lo que no se puede hacer, es construir una probabilidad, que a los múltiplos de 2 les asigne probabilidad 1/2, a lo múltiplos de 3 probabilidad 1/3….Ya que la sigma-álgebra más pequeña que contiene estos conjuntos, se puede demostrar que es Partes de N.

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 12 marzo, 2010

  12. Beleragor, a lo mejor no lo he dicho con toda la precisión que habría sido deseable. Lo que yo quiero decir es que en N es imposible que exista una probabilidad sigma-aditiva con soporte vacío, ni en Partes ni en ninguna sigma-álgebra, por lo que el Teorema de Ulam como tú lo enuncias sólo tiene contenido en espacios más grandes que N.

    Por ello, el argumento no puede ser “Partes + Ulam”.

    Por otro lado, las distribuciones que he puesto de ejemplo sí que están definidas en Partes. Coges A cualquiera, y defines
    P(A)= “Suma de P(n) para todos los n pertenecientes a A”
    Lo que no tienen es soporte vacío, su soporte es todo N.

    Un saludo.

    Comentario por Pedro Terán | 12 marzo, 2010

  13. Pero si estamos hablando de lo mismo. Cuando dices: “que en N es imposible que exista una probabilidad sigma-aditiva con soporte vacío” viene dado por el Teorema de Ulam. Y el soporte de la probabilidad que yo quiero definir es vacío. Igual estoy metiendo mucho la gamba, pero no veo fallo.

    Un saludo y gracias por la respuesta

    Comentario por Beleragor | 13 marzo, 2010

  14. […] ¿Podemos confiar en la Probabilidad? [ ciencimat.wordpress.com ] […]

    Pingback por ¿Podemos confiar en la Probabilidad? - apezz.com | 29 marzo, 2010

  15. realmente, asombroso, Beleragor. Era lo que quería escuchar en esta oficina sin quehaceres. La estadística … qué haríamos sin ella, y la probabilidad, su padre, está en medio de una discusión.

    PD: yo trabajo en una oficina haciendo estudios de probabilidad concreta, con enlaces de FFOO robustos + confiabilidad y nunca me hubiera planteado que me estorbaría la forma de definir la ciencia.

    saludos!!

    Comentario por andres | 15 abril, 2010

  16. Hola Andrés.

    Realmente no es que esté en medio de una discusión. Simplemente que hay que tener cuidado con que trabajamos y como se hacen y deducen las cosas.

    El problema que he comentado en esta entrada, no lejos de ser un problema real está ampliamente superado (claro, que hay que dar algo a cambio).

    A la hora de la práctica, no te estorba nada este problema, pues la Teoría se ha hecho para que la gente que la usa ni siquiera tenga que oir hablar de este problema.

    Un saludo

    Comentario por Beleragor | 15 abril, 2010

  17. No tiene ningun sentido esta entrada..

    lamentable mi perdida de tiempo

    Comentario por yo | 1 abril, 2011


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