¿Podemos confiar en la Probabilidad?

El destino se ríe de las probabilidades.

Buenas.

Hace bastante tiempo que no escribo en el Blog, no se si por falta de tiempo (valga la redundancia), por falta de ganas, o por falta de algo interesante que poder contar. Sea como fuere, vuelvo con una entrada a mi parecer de cierto interés. En ella discutiré sobre la capacidad de creernos o no creernos lo que es la probabilidad.

A la hora de definir una probabilidad, entran en juego varios elementos que pueden traer problemas a la hora de trabajar con ésta. Y de ésto va a tratar esta entrada, de cómo esos problemas pueden traer como consecuencia el que una probabilidad, que no esté definida de forma rigurosa no sea «creible».

Para ello voy a empezar con una pregunta sencilla. ¿Qué entendemos por probabilidad? Parece una pregunta subjetiva y sin ningún rigor científico, pero intuitivamente, todos tenemos una definición de probabilidad, que puede distar o no, de la rigurosa dada por las matemáticas.

¿Qué entiende un sujeto de mi casa escogido al azar por Probabilidad? (Y fue escogido al azar, otro tema interesante a tratar, aunque será en otra entrada).

Es la posibilidad de que un determinado suceso ocurra.

¿Qué entiendo yo por probabilidad?

Es una aplicación de tipo «medida», que parte de una sigma-álgebra de sucesos de un espacio muestral, y llega al intervalo [0,1].

Parece que no he dicho nada relacionado con la probabilidad. Pero voy a hacer una ostentación de veracidad para decir que la definición buena de probabilidad es la mía. No voy a entrar en lo que es una sigma-álgebra, ni en miles de propiedades deducibles de que la aplicación es una medida. Sólo me voy a quedar con una propiedad que posee la probabilidad: «La sigma-aditividad«.

Dicho de esta manera parece una propiedad monstruosa, pero viene a decir, que la probabilidad de la unión de una cantidad numerable de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades. Propiedad bastante intuitiva. Un ejemplo, queremos probabilizar un dado (no cargado), sabemos que la probabilidad del 1 es 1/6, y la del 2 también. Y es evidente, que son sucesos disjuntos,pues la probabilidad de sacar un 1 ó un 2 es 1/6+1/6=2/6.

Y aquí llega el gran problema, ¿Es lógico o coherente definir así una probabilidad? Parece que sí, que no hay ningún problema y que es una forma muy intuitiva. Más aún, trabajando en esta linea se ha conseguido desarrollar toda la inferencia y la Teoría de las probabilidades. Y parece que estas dos ramas de la matemática «funcionan».

El problema es que la sigma-aditividad en mucho casos, aunque sea intuitiva, no es correcta. Supongamos que queremos construir una probabilidad sobre los números naturales. Queremos por tanto, una probabilidad, no trivial, y que sea «lógica». Por ejemplo, parece intuitivo que la probabilidad de los pares sea 1/2, la de los múltiplos de 3 sea 1/3….  Bien, pues se puede demostrar que si queremos tener esta probabilidad, no puede ser sigma-aditiva. (La demostración es bastante rigurosa y de conocimientos relativamente avanzados en la materia)

¿Qué ha pasado entonces? ¿No se puede definir una probabilidad lógica sobre los naturales? No parece muy coherente, que en un conjunto tan sencillo con son los naturales, no podamos definir tal probabilidad. Pero así es. ¿Qué se hace ahora? Pues como nos está molestando una propiedad, la sustituimos por otra más débil y vemos si la cosa tira. Limitamos la sigma-aditividad, a una aditividad finita. Es no es más, que «una sigma-aditividad» pero para una cantidad finita de sucesos,no para una cantidad numerable (que puede ser infinita).

Parece entonces, que nuestro problema está resuelto. Y en cierto modo es cierto,tenemos construida una probabilidad sobre los naturales, aceptablemente lógica, pero a su vez hemos creado otro problema mayor. La inferencia, se basa en resultados como el Teorema central del Límite, o la Leyes de los grandes números. Y estos resultados sólo son ciertos, si tenemos una probabilidad sigma-aditiva. Luego, en ciertos momentos, TODA la estadística se nos viene abajo.

¿Cual es el problema entonces? Pues que en general, la gente que usa la estadística, no es capaz de adentrarse tanto en el problema, por falta de conocimientos teóricos importantes. Y en numerosas ocasiones, no se puede aplicar. Ya que la probabilidad con la que están tratando no es adecuada para ser tratada así.

Parece que hemos llegado a un callejón sin salida, y realmente así están las cosas en este momento. Se cree que la sigma-aditividad es la opción correcta, por que a partir de ella se desarrolla toda la estadística, y la estadística funciona. Pero en muchos casos, la aditividad finita es más lógica y nos rompe todos lo esquemas…

¿Qué pensar entonces?¿Podemos entonces fiarnos de la probabilidad? Parece que no, que la construcción rigurosa de ésta aplicación trae varios problemas serios y de difícil solución. Bueno, no seré yo quien lo juzgue, lo dejo a vuestra elección.

Un saludo, y espero que no fuera muy «técnica» esta entrada.